Chapitre 1: Représentation des entiers naturels

Programme

Contenus	Capacités attendues	Commentaires
Écriture d’un entier positif dans une base b ⩾ 2	Passer de la représentation d’une base dans une autre.	Les bases 2, 10 et 16 sont privilégiées.

On a l’habitude d’écrire les nombres entiers naturels en utilisant la notation décimale, cependant les ordinateurs actuels utilisent la base 2 pour représenter toutes les informations et donc les nombres. Dans ce chapitre nous allons voir comment compter en binaire?

Cette animation montre comment compter en binaire de 0 à 31 en utilisant 5 bits.

©  CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons

Chacun de ces nombres étant comprise entre 0 et 9, cela représente un ensemble de dix chiffres d’où le nom de notation décimale.

Les chiffres utilisés sont: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cependant, nos ordinateurs actuels utilisent des transistors pour calculer qui ne possèdent que deux états: 0 1.

Lorsqu’on va compter, on va très rapidement se retrouver à court de chiffres, et on sera obligé d’ajouter des deuzaines, quatraines, huitaines à gauche… Tout comme nous ajoutions des dizaines, centaines, milliers en base 10.

Représentation décimale	Représentation binaire
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000

1 Codage binaire

Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l’anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire positionnelle. Ceux-ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

C’est un concept essentiel de l’informatique. En effet, les processeurs des ordinateurs actuels sont composés de transistors ne gérant chacun que deux états.

Article Wikipédia sur le système binaire

Actuellement, dans les systèmes numériques comme les ordinateurs, toutes les informations, qu’il s’agisse de nombres, de textes d’images, de sons ou encore de vidéos sont codées sous forme binaire.

Le système binaire est un système de numération positionnel utilisant la base deux.

Les chiffres utilisés sont: 0 1

Avec $n$ bits, on peut représenter $2^n$ informations.

Dans le cas des entiers naturels, on peut compter de $0$ à $2^{n-1}$.

• avec 4 bits: de 0 à 15.
• avec 8 bits: de 0 à 255.

En plus: Dépassement de capacité

Un dépassement d’entier (integer overflow) est, en informatique, une condition qui se produit lorsqu’une opération mathématique produit une valeur numérique supérieure à celle représentable dans l’espace de stockage disponible. Article Wikipédia

Le vol 501 d'Ariane 5 en 1996 s'est soldé par sa destruction en raison d'un dépassement d'entier.

©  CC BY 3.0 via Wikimedia Commons

1.1 Comment passer de la notation binaire à la notation décimale ?

$$1110$$

$1110_2$ est l’addition de droite à gauche de zéro unité, une deuzaine, une quatraine, une huitaine.

Soit mathématiquement:

$$1110=1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 14$$

Remarque: on indique la base de numération par un indice à la fin du nombre.

Soit $1110_2 = 14_{10}$

1.2 Comment passer de la notation décimale à la notation binaire ?

On regroupe les objets par paquets de 2 en réalisant des divisions successives jusqu’à obtenir un quotient égal à 0.

Trouver en base deux la représentation du nombre $13_{10}$

13| 2
   |---
 1 | 6 | 2
       |---
     0 | 3 | 2
           |---
         1 | 1 | 2
               |---
             1 | 0

L’écriture du nombre se fait alors de droite à gauche :

$$13_{10} = 1101_{2}$$

On peut vérifier le résultat:

$${1110}_{2} = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 13_{10}$$

2 L’octet

Les mémoires actuelles sont toutes composées de cellules mémoires capables de retenir un bit. En mettant pleins de ces cellules dans un seul composant, et en mettant quelques circuits électroniques pour gérer le tout, on obtient une mémoire.OpenClassroom

L’état d’un circuit mémoire, se décrit par une suite finie de 0 et de 1, que l’on appelle un mot. Par exemple, le mot 100 décrit l’état d’un circuit composé de trois circuits mémoires un bit, respectivement dans l’état 1, 0 et 0.

Dans la mémoire des ordinateurs les circuits mémoire un bit sont souvent groupés par huit : les octets.

Octet

Un octet (byte en anglais) est une suite de 8 bits. Il permet de coder $2^8=256$ valeurs.

En plus: Les unités de stockage

Contrairement aux préfixes du système international(SI) utilisé en physique qui utilise des puissances de 10, on utilise en informatique la norme IEC basés des puissances de 2.

Les préfixes SI et IEC ont des noms et des valeurs proches, les fabricants de disque dur l’ont bien compris et utilisent toujours le préfixe SI pour faire croire à un plus grand stockage.

3 Codage hexadécimal

La notation binaire bien qu’adaptée aux composants électroniques, ne l’est pas du tout pour l’homme. Certains des premiers ordinateurs, comme l’ENIAC utilisaient la base 10, cependant cette idée a été abandonnée en raison des difficultés que cela entraînaient au niveau électronique. La base 16, le système hexadécimal rend l’utilisation du binaire plus humaine.

Un chiffre hexadécimal est un mot de 4 bits puisque $2^4 = 16$.

Les chiffres utilisés sont: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f

Voici les correspondances entre les bases hexadécimale, décimale et binaire.

Chiffre hexadécimal	Représentation décimale	Représentation binaire
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111
10	16	10000

3.1 Comment passer de la notation binaire à la notation hexadécimale ?

Comment représenter le mot binaire de 16 bits: 1010101111100001

On est d’accord, en binaire, c’est inhumain, par contre en hexadécimal, cela devient beaucoup plus lisible et manipulable:

$${1010101111100001}_2 = {abe1}_{16}$$

Ou si l’on tient vraiment à notre bonne vielle base 10:

$$abe1_{16}=(10 \times 16^3 + 11 \times 16^2 + 14 \times 16^1 + 1 \times 16^0)_{10}=44001_{10}$$

Pour passer de l’écriture binaire à l’écriture hexadécimale, il suffit de regrouper les chiffres binaires 4 par 4.

Trouver en base seize la représentation du nombre $101101_{2}$

En base 2:    101101 = 0010 1101
En base 16:              2    D

Soit: $101101_{2} = 2D_{16}$

On peut vérifier le résultat en base 10:

$${101101}_2 = + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 13_{10}$$

3.2 Comment passer de la notation décimale à la notation hexadécimale ?

On regroupe les objets par paquets de 16 en réalisant des divisions successives jusqu’à obtenir un quotient égal à 0.

Trouver en base seize la représentation du nombre $255_{16}$

 286  | 16
      |---
14(e)| 17 | 16
           |---
         1 | 1 | 16
               |---
             1 | 0 

L’écriture du nombre se fait alors de droite à gauche en remplaçant les nombres décimaux par leurs écritures hexadécimales:

$$286_{10} = 11e_{16}$$

On peut vérifier le résultat :

$${e11}_{16} = 1 \times 16^2 + 1 \times 16^1 + 14(e) \times 2^0 = 256 + 16 + 14 = 286_{10}$$

4 Opérations arithmétiques

Les méthodes utilisées en base dix s’appliquent de la même façon dans les autres bases.

Mise en garde

Des dépassements de capacités (integer overflow) peuvent advenir en cas d’addition($255 + 1 = 0$ sur un octet!).

Les soustractions doivent donner des résultats positifs, car on ne code pas encore les entiers relatifs($10 - 13 = -3$ qui ne peut pas être codé!).

4.1 Addition binaire

Réaliser l’addition binaire: $1011_2 + 1010_2$

 (1) (1)
    1 0 1 1
  + 1 0 1 0
    -------
  1 0 1 0 1

On peut vérifier le résultat en base 10 :

$$({1011}_2 = 11_{10})+({1010}_2 = 10_{10})={10101}_2 = 21_{10}$$

4.2 Addition hexadécimale

Réaliser l’addition hexadécimale: $A803_{16} + 2D35_{16}$

   (1)
    A 8 0 3
  + 2 D 3 5
    -------
    D 5 3 8

On peut vérifier le résultat en base 10:

$$({A803}_{16} = 43 011_{10})+({2D35}_{16} = 11 573_{10})={D538}_{16} = 54 584_{10}$$

4.3 Soustraction binaire

Réaliser la soustraction binaire: $1011_2 - 0110_2$

    1 0 1 1
  - 0 1 1 0
   (1)
    -------
    0 1 0 1

On peut vérifier le résultat en base 10:

$$({1011}_2 = 11_{10})-({0110}_2 = 6_{10})={0101}_2 = 5_{10}$$

4.4 Soustraction hexadécimale

Réaliser la soustraction hexadécimale : $A803_{16} - 2D35_{16}$

     A  8  0  3
  -  2  D  3  5
    (1)(1)(1)
    -----------
     7  A  C  E

On peut vérifier le résultat en base 10 :

$$({A803}_{16} = 43 011_{10})-({2D35}_{16} = 11 573_{10})={7ACE}_{16} = 31 438_{10}$$

Maintenant que vous avez tout compris, voici un lien vers un convertisseur en ligne.

http://www.binaryconvert.com/convert_unsigned_int.html

5 Conversions et opérations en python

Bien entendu, comme ce genre d’opérations est courante en informatique, python possède des fonctions pour manipuler les nombres entiers en base décimale int(), en base deux bin(), en base seize hex().

Vous pouvez trouver quelques exemples de ces conversions sur cette réponse du forum de programmation en anglais stackoverflow

ATTENTION

Les nombres binaires et hexadécimaux sont représentés en Python sous forme de chaîne de caractères avec un préfixe.

• Ob pour les nombres binaires par exemple'0x1001' pour $1001_{2}$
• Ox pour les nombres hexadécimaux par exemple'0xABCD' pour $ABC_{16}$