Chapitre 4: Graphes

Les graphes : une structure de données non linéaire

Vous êtes déjà habitués à manipuler des listes, n-uplets ou encore les piles et les files, qui sont des exemples de structures de données linéaires, c'est-à-dire à une dimension, on peut les parcourir du début à la fin en suivant un seul chemin.

Dans le chapitre précédent nous avons vu les arbres, un exemple structure de données non linéaire très utilisé pour représenter une hiérarchie entre des données comme des liens de descendance dans un arbre généalogique.

En fait, les arbres sont des graphes avec bien particuliers tels que tous les nœud sauf la racine ont un unique parent(on parle de graphe acyclique orienté).

Maintenant que nous parlons de graphe, il n 'existe plus aucune restriction, il n'y a plus de racine, plus de restriction sur les parents, les enfants, ou quoi que ce soit.

graphe

Un graphe est une structure composée d'objets dans laquelle certaines paires d'objets sont en relation.

Les objets correspondent à des abstractions mathématiques et sont appelés sommets (ou nœuds ou points), et les relations entre sommets sont des arêtes (ou liens ou lignes).

Graphe orienté

On distingue les graphes non orientés, où les arêtes relient deux sommets de manière symétrique, et les graphes orientés, où les arêtes, alors appelées flèches, relient deux sommets de manière asymétrique.

Article wikipedia sur les graphes

Graphe pondéré

Un graphe pondéré ou un réseau est un graphe où chaque arête porte un nombre (son poids).

Image par Tore.opsahl — Based on File:Social-network.svg, Domaine public, Lien

Ces poids peuvent représenter par exemple des coûts, des longueurs ou des capacités, en fonction du problème traité. Ces graphes sont fréquents dans divers contextes, comme le problème de plus court chemin ou le problème du voyageur de commerce.

Quelques exemples de graphes

En fait les graphes sont omniprésents, car il est rare que l'information puissent être réduite à une structure linéaire comme les listes ou encore à un arbre dans lequel la descendance est parfaitement établie.

Internet

Prenons l'exemple d'internet, le réseau internet est un ensemble de machines sont identifiées par leur adresse IP. Elles sont reliées entre elles sans une machine mère qui centralise les échanges et dans lequel le chemin des paquets n'est pas unique entre deux machines grâce aux protocoles de routage.

By The Opte Project - Originally from the English Wikipedia; description page is/was here., CC BY 2.5, Link

Lorsque nous cliquons entre des sites Web et que nous naviguons entre les URL, nous naviguons vraiment à travers un graphique. Parfois, ces graphiques ont des sommets avec des bords non orientés - je peux aller et venir d'une page Web à une autre - et d'autres qui sont dirigés - je ne peux que passer de la page Web A à la page Web B, et jamais l'inverse.

Mais il y a un meilleur exemple qui illustre magnifiquement nos interactions quotidiennes avec les graphes: les réseaux sociaux.

Réseaux sociaux

Prenons l'exemple des réseaux sociaux tels sur Facebook ou son alternative libre Diaspora.

Dans ce type de réseau social:

• les sommets sont les utilisateurs
• les arêtes sont les liens d'amitié entre ces utilisateurs.

A gentle introduction to graph theory

L'amitié se veut être un lien bidirectionnel, on ne peut être ami de quelqu'un qui n'est pas votre ami: C'est un graphe non-orienté.

Au contraire dans les réseaux de microblogging comme Twiter ou son alternative libre Mastodon, les liens ne sont pas de la même nature.

On peut suivre une personne, mais il n'est pas obligatoire que cette personne vous suivre en retour.

A gentle introduction to graph theory

Le suivi est un lien directionnel : C'est un graphe non-orienté.

Graphes routiers

Comment implémenter un graphe?

Il existe deux façons d'implémenter un graphe:

• La matrice d'adjacence,
• la liste de successeurs/prédécesseurs.

Nous allons voir comment réaliser ces deux implémentations, et comment passer de l'une à l'autre.

La matrice d'adjacence

 

On représente les liens entre les $n$ sommets du graphe par une matrice de dimension $n$ dont l'élément non diagonal $a_{ij}$ est le nombre d'arêtes (ou son poids pour un graphe pondéré) liant le sommet $i$ au sommet $j$.

L'élément diagonal $a_{ii}$ est le nombre de boucles au sommet i.

Dans le cas d'un graphe non orienté, la matrice d'adjacence est symétrique.

Pour un graphe orienté, elle est quelconque.

Article Wikipédia sur les matrices d'adjacence

La liste de successeurs/prédécesseurs

 

La liste d'adjacence d'un graphe non orienté, est la liste des voisins de chaque sommet.

Article Wikipédia sur la liste d'adjacence

Implémentations en Python

Le créateur de Python Guido Von Rossum, proposa une implémentation de graphe en Python utilisant la liste d'adjacence(https://www.python.org/doc/essays/graphs/):

Few programming languages provide direct support for graphs as a data type, and Python is no exception. However, graphs are easily built out of lists and dictionaries. For instance, here's a simple graph (I can't use drawings in these columns, so I write down the graph's arcs):

A -> B
A -> C
B -> C
B -> D
C -> D
D -> C
E -> F
F -> C

graph = {'A': ['B', 'C'],
         'B': ['C', 'D'],
         'C': ['D'],
         'D': ['C'],
         'E': ['F'],
         'F': ['C']}

En ce qui concerne les matrices, on les représente généralement sous forme de tableaux de tableaux, comme vu en première.

M = [[1, 2, 3],
     [4, 5, 6],
     [7, 8, 9]]