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Chapitre 2: Algorithmes de recherche

Dans ce chapitre, nous allons étudier des algorithmes de recherche d'éléments dans un tableau.

On verra que tous les algorithmes n'ont pas la même efficacité, et nous illustrerons une méthode algorithmique très efficace et utile appelée: "Diviser pour régner" sur l'exemple de la recherche dichotomique

Commencons par créer une liste d'éléments

Pour cela nous allons écrire une fonction pour créer facilement des listes de mots.

Entrée
import random
import string

lettres = string.ascii_lowercase

def create_liste(N, l=3):
    """Renvoie une liste de N mots ayant l lettres"""
    L = []
    # on rend le générateur prédictible en imposant une graine fixe
    random.seed(1789)
    for i in range(N):
        mot = ''.join(random.choice(lettres) for i in range(l))
        L.append(mot)
    return L
mots = create_liste(10, 3)
print(mots)
Sortie
['xwt', 'bup', 'bou', 'xbd', 'upd', 'fuz', 'tfb', 'yht', 'ryd', 'twn']

La recherche en table

Pour trouver un élément la méthode la plus simple consisterait à parcourir l'ensemble du tableau et de s'arrêter lorsqu'on trouve l'élément.

On peut par exemple écrire cet algorithme avec une boucle while.

Entrée
cherché = 'fuz'
i = 0
while i < len(mots) and mots[i] != cherché:
    i += 1
    
if i < len(mots):
    print("Trouvé:", i)
else:
    print("Non trouvé")
Sortie
Trouvé: 5
Entrée
cherché = 'ful'
i = 0
while i < len(mots) and mots[i] != cherché:
    i += 1
if i < len(mots):
    print("Trouvé:", i)
else:
    print("Non trouvé")
Sortie
Non trouvé

Cette méthode a l'avantage d'ếtre simple, et fonctionne cependant si le tableau est long l'algorithme devient très long. Il faut dans le pire des cas(si l'élément cherché està la fin ou n'est pas trouvé) par courir toute la liste.

Remarque: On dit que c'est un algorithme de complexité n, n étant la taille des données. L'algorithme effectue n opérations dans le pire des cas.

Mesurons le temps pris par cet algorithme sur une liste de 10 millions d'éléments grâce à la fonction magique %timeit.

Remarque: on utilise des mots de 5 caractères ce qui permet d'obtenir 2 6 5 26^5 mots différents(bien que le générateur puisse créer des doublons dans la liste).

Entrée
mots = create_liste(int(1E7), 5)
Entrée
%%timeit
cherché = 'abcde'
i = 0
while i < len(mots) and mots[i] != cherché:
    i += 1
if i < len(mots):
    print("Trouvé:", i)
else:
    print("Non trouvé")
Sortie
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
Trouvé: 5929792
606 ms ± 3.58 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

On voit qu'en moyenne, l'algorithme a pris environ 600ms pour effectuer cette recherche.

La dichotomie

Nous allons maintenant étudier l'algorithme de recherche par dichotomie. On peut comparer ça à une recherche dans un dictionnaire (qui a eu la bonne idée d'être trié!)

La recherche dichotomique, ou recherche par dichotomie, est un algorithme de recherche pour trouver la position d'un élément dans un tableau trié. Le principe est le suivant : comparer l'élément avec la valeur de la case au milieu du tableau ; si les valeurs sont égales, la tâche est accomplie, sinon on recommence dans la moitié du tableau pertinente. Source Wikipedia

Illustration

Cette image illustre la recherche de l'élément 4 dans tableau trié.

Binary search into array

Implémentation en Python

Voici un exemple d'implémentation en Python.

ATTENTION: Il faut bien trier la liste avant d'effectuer la recherche, on va utiliser une méthode implémentée dans Python dans ce chapitre, et nous verrons la semaine prochaine quelques algorithmes de tri.

Entrée
# on crée la liste
mots = create_liste(10, 3)
# on la trie
mots.sort()
print("Voici la liste des mots\n", mots)
Sortie
Voici la liste des mots
 ['bou', 'bup', 'fuz', 'ryd', 'tfb', 'twn', 'upd', 'xbd', 'xwt', 'yht']

Définition de la fonction de recherche

Entrée
def recherche_dichotomique(cherché, mots):
    # on initialise les indices i et j aux extrémités de la liste
    i = 0
    j = len(mots)
    
    while i != j:
        # On se place au milieu de la liste
        k = (i + j) // 2 # il, s'agit d'une division entière
    
        # On arrête la boucle pour ne pas chercher en dehors du tableau
        if k < 0 or k > len(mots) -1 :
            print("Non trouvé")
            break
    
        # Sinon on cherche
        print("On cherche en ", k)
    
        if mots[k] == cherché:
            print("Trouvé à l'indice:",k , mots[k])
            # on arrête la boucle
            i = j
        elif mots[k] < cherché:       
            i = k + 1
        else:
            j = k - 1

Appel de la fonction

Entrée
recherche_dichotomique('fuz', mots)
Sortie
On cherche en  5
On cherche en  2
Trouvé à l'indice: 2 fuz

Incroyable on a trouvé en deux fois! Et si on ne trouve pas alors?

Entrée
recherche_dichotomique('aaa', mots)
Sortie
On cherche en  5
On cherche en  2
On cherche en  0
Non trouvé

Incroyable on a trouvé en trois fois seulement. Il s'agit d'un logarithme ayant une compléxité en l o g 2 ( n ) log_2 (n) , c'est à dire que pour une liste de n éléments il trouve le résultat en l o g 2 ( n ) log_2 (n) opérations.

Par exemple:

Au lieu de 10 millions d'opérations, on en effectue 23!

Mesurons le temps de recherche de cet algorithme sur une liste de 10 millions d'éléments pour le comparer à la recherche en table.

Attention à ne pas oublier de classer la liste.

Entrée
mots = create_liste(int(1E7), 5)
mots.sort()
Entrée
%%timeit
recherche_dichotomique('abcde', mots)
Sortie
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
On cherche en  1249999
On cherche en  624999
On cherche en  312499
On cherche en  156249
On cherche en  78124
On cherche en  39061
On cherche en  19530
On cherche en  9764
On cherche en  14647
On cherche en  17088
On cherche en  15867
On cherche en  15257
On cherche en  15562
On cherche en  15714
On cherche en  15790
On cherche en  15828
On cherche en  15847
On cherche en  15837
On cherche en  15842
On cherche en  15844
On cherche en  15845
Trouvé à l'indice: 15845 abcde
On cherche en  5000000
On cherche en  2499999
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Trouvé à l'indice: 15845 abcde
2.18 ms ± 127 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

Il nous a fallu à peine 3 ms cette fois-ci, au lieu de 600ms pour la recherche en table, c'est 300 fois moins, et plus la liste sera grande, et plus l'écart sera important.

Voyons si l'élément est non trouvé.

Entrée
%%timeit
recherche_dichotomique('αβδε', mots)
Sortie
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On cherche en  9990235
On cherche en  9995118
On cherche en  9997559
On cherche en  9998780
On cherche en  9999390
On cherche en  9999695
On cherche en  9999848
On cherche en  9999924
On cherche en  9999962
On cherche en  9999981
On cherche en  9999991
On cherche en  9999996
On cherche en  9999998
On cherche en  9999999
On cherche en  5000000
On cherche en  7500000
On cherche en  8750000
On cherche en  9375000
On cherche en  9687500
On cherche en  9843750
On cherche en  9921875
On cherche en  9960938
On cherche en  9980469
On cherche en  9990235
On cherche en  9995118
On cherche en  9997559
On cherche en  9998780
On cherche en  9999390
On cherche en  9999695
On cherche en  9999848
On cherche en  9999924
On cherche en  9999962
On cherche en  9999981
On cherche en  9999991
On cherche en  9999996
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On cherche en  5000000
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On cherche en  5000000
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On cherche en  9999998
On cherche en  9999999
1.94 ms ± 73.8 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

On effectue seulement 23 itérations en à peine 3 ms. Voila pourquoi la dichotomie est une méthode si puissante, la recherche a été 300 fois plus rapide qu'avec la recherche en table sur cette liste de 10 millions de mots.

Remarque: l'algorithme écrit nécesiterait quelques retouches pour afficher le non-trouvé lorsque l'élément chérché est au dessus du dernier élément!

Conclusion

Nous avons vu sur cet exemple en quoi la recherche dichotomique était une méthode efficace pour rechercher un élément dans un tableau trié.

Cela nous a permis d'introduire la notion de complexité d'un algorithme qui vise à évaluer l'efficacité des algorithmes en mesurant le nombre d'opérations nécessaires à la finalisation d'un algorithme.

Cette méthode n'est qu'un exemple de nombreux autres algorithmes utilisant une méthode générale appelée "Diviser pour régner".

En informatique, diviser pour régner (du latin « Divide ut imperes », divide and conquer en anglais) est une technique algorithmique consistant à :

Trois étapes illustré avec l'algorithme du tri fusion.svg
Par Fschwarzentruber — Travail personnel, CC BY-SA 4.0, Lien

Cette technique fournit des algorithmes efficaces pour de nombreux problèmes, comme la recherche d'un élément dans un tableau trié (recherche dichotomique), le tri (tri fusion, tri rapide), la multiplication de grands nombres (algorithme de Karatsuba) ou la transformation de Fourier discrète (transformation de Fourier rapide). Source Wikipedia