Chapitre 3: Représentation des entiers relatifs et des réels

Dans la première partie du cours, nous avons appris à représenter des entiers naturels en représentation binaire ou hexadécimale.

Ainsi en utilisant des mots binaires de n bits, on peut coder $2^{n}$ nombres entiers.

Par exemple sur un octet, soit 8 bits, on peut coder $2^{n}$ valeurs soit dans le cas des entiers naturels des nombres de 0 à 255.

Cependant dans de nombreux programmes, il est nécessaire d'utiliser d'autres types de nombres comme les entiers relatifs ou les réels.

Représentation des entiers relatifs

La façon la plus simple de procéder serait de réserver le bit de poids fort pour le signe(0 pour positif et 1 pour négatif), et de garder le rester pour la représentation de la valeur absolue du nombre.

Avec un codage utilisant des mots de n bits, on pourrait représenter des nombres entre $-2^{n-1}-1$ et $2^{n-1}-1$.

Par exemple, avec un codage sur 3 bits, des nombres entre -3 et 3:

Représentation binaire	Valeur décimale
000	+0
001	+1
010	+2
011	+3
100	-0
101	-1
110	-2
111	-3

Malheureusement cette représentation possède deux inconvénients. Le premier (mineur) est que le nombre zéro (0) possède deux représentations. L'autre inconvénient (majeur) est que cette représentation impose de modifier l'algorithme d'addition ; si un des nombres est négatif, l'addition binaire usuelle donne un résultat incorrect. Voir l'article de Wikipedia pour plus de détails

Notation en complément à deux

Cette méthode permet de remédier aux problèmes évoqués ci-dessus.

On utilise toujours un bit de signe tout à gauche, les entiers positifs sont codés normalement, cependant les entiers négatifs sont comptés à l'envers.

L'entier négatif x est codé comme s'il s'agissait de l'entier $x + 2^{n}$ ou n est la taille du mot.

Par exemple, pour des mots de 3 bits:

• Le nombre -1 a la représentation binaire la plus grande:

$(-1 = 2^3 -1 = 7)_{10} = 111_2$

• Le nombre le plus petit que l'on peut coder est:

$(-4 = 2^3 - 2^2 = 4)_{10} = 100_2$

Avec un codage utilisant des mots de n bits, on pourrait représenter des nombres entre $-2^{n-1}$ et $2^{n-1}-1$.

Par exemple, avec un codage sur 3 bits, des nombres entre -4 et 3:

Représentation binaire	Valeur décimale
000	+0
001	+1
010	+2
011	+3
100	-4
101	-3
110	-2
111	-1

On peut alors vérifier avec cette notation que l'algorithme d'addition utilisé pour les entiers naturels donne des résultats corrects avec cette représentation.

Représentation des réels

En fait plutôt que parler d'encodage des réels, on préfère parler de nombres à virgules(floating point en anglais), car il existe une infinité de réels infiniment proches les uns des autres, or en informatique, nous serons forcément limité dans l'étendue et la proximité des nombres à virgule.

Ainsi un calcul avec des nombres à virgule ne peut-être qu'approximatif. Cependant plus on augmente la taille du registre du processeur et plus nous pourrons représenter de valeurs, et plus nos calculs gagneront en précision.

Principe du codage

On représente un nombre à virgule sous la forme:

$s\ m \cdot 2^n$

« IEEE754 Format General » par GMjeanmatt — Travail personnel. Sous licence CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons.

Supposons un nombre flottant codé sur un octet utilisant 1 bit de signe, 3 bits pour l'exposant et 4 bits pour la mantisse: 1 101 1011

• $s$ est le signe représenté par le bit de poids fort:

  • $s=0$: signe $+$
  • $s=1$: signe $-$

Notre codage représente donc un nombre négatif.

• $n$ est l'exposant représenté par un entier relatif décalé et non en complément à deux, afin de faciliter la comparaison des exposants. Ce décalage est de $2^{e-1} - 1$ (e représente le nombre de bits de l'exposant)

L'exposant a pour valeur 101 codé sur 3 bits, il doit être décalé de $2^{2} - 1 = 3$. Ainsi, puisque $101_2 = 5_{10}$, l'exposant 101 correspond à un exposant de 5-3=2.

• $m$ est la mantisse qui est un nombre binaire à virgule compris entre 1 inclus et 2 exclus. Le seul chiffre avant la virgule étant toujours 1, il n'est pas représenté(on le dit implicite), et le codage binaire de la mantisse représente donc uniquement les chiffres après la virgule qui sont en base 2 des demis, des quarts, des huitièmes...

dans notre exemple, la mantisse est: 1011, elle représentera le nombre:

$m = 1 + \frac{1}{2} + \frac{0}{2^2} + \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4} = 1,6875$

Le code 1 101 1011 sur un octet utilisant 1 bit de signe, 3 bits pour l'exposant et 4 bits pour la mantisse représente donc:

$- 1,6875 \cdot 2^{2}= -6,75$

La norme IEEE 754

L’IEEE 754 est une norme pour la représentation des nombres à virgule flottante en binaire. Elle est la norme la plus employée actuellement pour le calcul des nombres à virgule flottante dans le domaine informatique. Source Wikipedia

Cette norme définit notamment 2 formats pour représenter des nombres à virgule flottante:

• simple précision (32 bits : 1 bit de signe, 8 bits d'exposant (-126 à 127), 23 bits de mantisse, avec bit 1 implicite),

Par GMjeanmatt — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, Lien

• double précision (64 bits : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant (-1022 à 1023), 52 bits de mantisse, avec bit 1 implicite).

Par GMjeanmatt — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, Lien

Réaliser la conversion en base 2 de la valeur approchée de pi: 3.14159265359

• en simple précision: ici
• en double précision: ici

Comparer la précision obtenue dans les deux cas.