On a l'habitude d'écrire les nombres entiers naturels en notation décimale à position, dans ce système, on écrit de droite à gauche le nombre d'unités, de paquets de dizaines, de centaines, etc.
Chacun de ces nombres étant comprise entre 0 et 9, cela représente un ensemble de dix chiffres d’où le nom de notation décimale.
Les chiffres utilisés sont: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
exemple: 1789
1789 est l'addition de droite à gauche de neuf unités, huit dizaines, sept centaines, et un millier.
Soit mathématiquement:
Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire positionnelle. Ceux-ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.
C'est un concept essentiel de l'informatique. En effet, les processeurs des ordinateurs actuels sont composés de transistors ne gérant chacun que deux états.
Actuellement, dans les systèmes numériques comme les ordinateurs, toutes les informations, qu'il s'agisse de nombres, de textes d'images, de sons ou encore de vidéos sont codées sous forme binaire.
Le système binaire est un système de numération positionnel utilisant la base deux.
Les chiffres utilisés sont: 0 1
est l'addition de droite à gauche de zéro unité, une deuzaine, une quatraine, une huitaine.
Soit mathématiquement:
Remarque: on indique la base de numération par un indice à la fin du nombre.
Soit
On regroupe les objets par paquets de 2 en réalisant des divisions successives jusqu'à obtenir un quotient égal à 0.
Trouver en base deux la représentation du nombre
13 | 2
|---
1 | 6 | 2
|---
0 | 3 | 2
|---
1 | 1 | 2
|---
1 | 0L'écriture du nombre se fait alors de droite à gauche:
On peut vérifier le résultat:
Trouver la représentation en base deux du nombre 1000.
Donner les représentations en base deux des nombres 1, 3, 7, 15, 31 et 63. Expliquer le résultat.
Trouver la représentation en base dix du nombre .
C’est en qu’a été démontré le théorème fondamental de l'informatique. Exprimer ce nombre en base dix.
Pour multiplier par dix un entier naturel exprimé en base dix, il suffit d’ajouter un 0 à sa droite, par exemple, 12 x 10 = 120. Quelle est l’opération équivalente pour les entiers natu— rels exprimés en base deux ? Exprimer en base deux les nombres 3, 6 et 12 pour illustrer cette remarque.
Les mémoires actuelles sont toutes composées de cellules mémoires capables de retenir un bit. En mettant pleins de ces cellules dans un seul composant, et en mettant quelques circuits électroniques pour gérer le tout, on obtient une mémoire.Source OpenClassroom
L’état d’un circuit mémoire, se décrit par une suite finie de 0 et de 1, que l’on appelle un mot. Par exemple, le mot 100 décrit l’état d’un circuit composé de trois circuits mémoire un bit, respectivement dans l’état 1, 0 et 0.
Dans la mémoire des ordinateurs les circuits mémoire un bit sont souvent groupés par huit : les octets. On utilise souvent des nombres exprimés en notation binaire, c’est-à-dire en base deux, sur un, deux, quatre ou huit octets, soit 8, 16, 32 ou 64 bits.
Un octet permet de représenter , c'est-à-dire 256, valeurs différentes. Un ou plusieurs octets permettent ainsi de coder des valeurs numériques ou des caractères.
La notation binaire bien qu'adaptée aux composants électroniques, ne l'est pas du tout pour l'homme. Certains des premiers ordinateurs, comme l'EINAC utilisaient la base 10, cependant cette idée a été abandonnée en raison des difficultés que cela entraînaient au niveau électronique. La base 16, le système hexadécimal rend l'utilisation du binaire plus humaine.
Un chiffre hexadécimal est un mot de 4 bits puisque .
Le système hexadécimal est utilisé notamment en électronique numérique et en informatique car il est particulièrement commode et permet un compromis entre le code binaire des machines et une base de numération pratique à utiliser pour les ingénieurs. En effet, chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre chiffres binaires (ou bits), rendant les conversions très simples et fournissant une écriture plus compacte.Source Wikipedia
Les chiffres utilisés sont: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Voici les correspondances entre les bases hexadécimale, décimale et binaire.
| Chiffre hexadécimal | Représentation décimale | Représentation binaire |
|---|---|---|
|
0 |
0 |
0000 |
|
1 |
1 |
0001 |
|
2 |
2 |
0010 |
|
3 |
3 |
0011 |
|
4 |
4 |
0100 |
|
5 |
5 |
0101 |
|
6 |
6 |
0110 |
|
7 |
7 |
0111 |
|
8 |
8 |
1000 |
|
9 |
9 |
1001 |
|
A |
10 |
1010 |
|
B |
11 |
1011 |
|
C |
12 |
1100 |
|
D |
13 |
1101 |
|
E |
14 |
1110 |
|
F |
15 |
1111 |
Comment représenter le mot binaire de 16 bits: 1010101111100001
On est d'accord, en binaire, c'est inhumain, par contre en hexadécimal, cela devient beaucoup plus lisible et manipulable:
Ou si l'on tient vraiment à notre bonne vielle base 10:
Pour passer de l’écriture binaire à l’écriture hexadécimale, il suffit de regrouper les chiffres 4 par 4.
Trouver en base seize la représentation du nombre
En base 2: 101101 = 0010 1101
En base 16: 2 DSoit:
On peut vérifier le résultat en base 10:
111100011001Source Tous les exercices de cette page sont issus du livre Informatique et sciences du numérique Spécialité ISN en terminale S - Avec des exercices corrigés et des idées de projets par Gilles Dowek